Question

10．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（4，0），B（0，4），C（6，6）．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）證明：四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；
（3）在四邊形AOBC的內(nèi)部能否截出面積最大的?DEFG？（頂點D，E，F(xiàn)，G分別在線段AO，OB，BC，CA上，且不與四邊形AOBC的頂點重合）若能，求出?DEFG的最大面積，并求出此時點D的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系數(shù)法，求出拋物線的表達(dá)式即可；
（2）利用兩點間的距離公式分別計算出OA=4，OB=4，CB=2$\sqrt{10}$，CA=2$\sqrt{10}$，則OA=OB，CA=CB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；
（3）如圖2，利用兩點間的距離公式分別計算出AB=4$\sqrt{2}$，OC=6$\sqrt{2}$，設(shè)D（t，0），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)四邊形DEFG為平行四邊形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC與△OAC關(guān)于OC對稱，則可判斷EF和DG為對應(yīng)線段，所以四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，則DE∥AB，于是可判斷△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=$\sqrt{2}$t，接著證明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t），所以矩形DEFG的面積=DE•DG=$\sqrt{2}$t•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-3t²+12t，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求平行四邊形DEFG的面積的最大值，從而得到此時D點坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{c=4}\\{36a+6b+c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{11}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式為y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{11}{3}$x+4；

（2）如圖1，連結(jié)AB、OC，
∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），
∴OA=4，OB=4，CB=$\sqrt{{6}^{2}+（6-4）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，CA=$\sqrt{（6-4）^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴OA=OB，CA=CB，
∴OC垂直平分AB，
即四邊形AOBC的兩條對角線互相垂直；

（3）能．
如圖2，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，設(shè)D（t，0），
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴EF∥DG，EF=DG，
∵OC垂直平分AB，
∴△OBC與△OAC關(guān)于OC對稱，
∴EF和DG為對應(yīng)線段，
∴四邊形DEFG為矩形，DG∥OC，
∴DE∥AB，
∴△ODE∽△OAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{OD}{OA}$，即$\frac{DE}{4\sqrt{2}}$=$\frac{t}{4}$，解得DE=$\sqrt{2}$t，
∵DG∥OC，
∴△ADG∽△AOC，
∴$\frac{DG}{OC}$=$\frac{AD}{AO}$，即$\frac{DG}{6\sqrt{2}}$=$\frac{4-t}{4}$，解得DG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t），
∴矩形DEFG的面積=DE•DG=$\sqrt{2}$t•$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（4-t）=-3t²+12t=-3（t-2）²+12，
當(dāng)t=2時，平行四邊形DEFG的面積最大，最大值為12，此時D點坐標(biāo)為（2，0）．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和對稱的判定與性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，會利用兩點間的距離公式計算線段的長；掌握線段垂直平分線的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)；會利用相似比計算線段的長．