Question

5．如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$，由弧長l=$\frac{nπR}{180}$，得S_扇形=$\frac{nπ{R}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{nπR}{180}$•R=$\frac{1}{2}$lR．通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)S_扇形=$\frac{1}{2}$lR類似于S_三角形=$\frac{1}{2}$×底×高．
類比扇形，我們探索扇環(huán)（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環(huán)被扇形截得的一部分叫做扇環(huán)）的面積公式及其應(yīng)用．
（1）設(shè)扇環(huán)的面積為S_{扇環(huán)}，$\widehat{AB}$的長為l₁，$\widehat{CD}$的長為l₂，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S_梯形=$\frac{1}{2}$×（上底+下底）×高，用含l₁，l₂，h的代數(shù)式表示S_{扇環(huán)}，并證明；
（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環(huán)形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)扇形公式之間的關(guān)系，結(jié)合已知條件推出結(jié)果即可；
（2）求出l₁+l₂=40-2h，代入（1）的結(jié)果，化成頂點式，即可得出答案．

解答 （1）S_{扇環(huán)}=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h，
證明：設(shè)大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數(shù)為n，則由l=$\frac{nπr}{180}$，得R=$\frac{180{l}_{1}}{nπ}$，r=$\frac{180{l}_{2}}{nπ}$
所以圖中扇環(huán)的面積S=$\frac{1}{2}$×l₁×R-$\frac{1}{2}$×l₂×r
=$\frac{1}{2}$l₁•$\frac{180{l}_{1}}{nπ}$-$\frac{1}{2}$l₂•$\frac{180{l}_{2}}{nπ}$
=$\frac{90}{nπ}$（l₁²-l₂²）
=$\frac{90}{nπ}$（l₁+l₂）（l₁-l₂）
=$\frac{1}{2}$•$\frac{180}{nπ}$•（$\frac{nπ}{180}$R+$\frac{nπ}{180}$r）（l₁-l₂）
=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）（R-r）
=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h，
故猜想正確．

（2）解：根據(jù)題意得：l₁+l₂=40-2h，
則S_{扇環(huán)}=$\frac{1}{2}$（l₁+l₂）h
=$\frac{1}{2}$（40-2h）h
=-h²+20h
=-（h-10）²+100
∵-1＜0，
∴開口向下，有最大值，
當h=10時，最大值是100，
即線段AD的長h為10m時，花園的面積最大，最大面積是100m²．

點評 本題主要考查了扇形面積公式，弧長公式，二次函數(shù)的頂點式的應(yīng)用，能猜想出正確結(jié)論是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．