Question

14．在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，動點M以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)運動到點B，點N以相同的速度從點B出發(fā)運動到點C，兩點同時出發(fā)，過點M作MP⊥AB交直線CD于點P，連接NM、NP，設運動時間為t秒．
（1）當t=2時，∠NMP=30度；
（2）求t為何值時，以A、M、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）當△NPC為直角三角形時，求此時t的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AC．t=2時，AM=BM=2，BN=CN=2，由PM⊥AB，可得PA=PB，推出P與C重合，由MN∥AC，推出∠NMP=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°；
（2）若點P在線段CD上時，過A作AE⊥CD于E，想辦法構建方程即可解決問題；
（3）若點P在線段CD上時，不存在Rt△NPC，只有當P在線段DC延長線上時，才存在Rt△NPC，分兩種情形討論求解即可；

解答 解：（1）如圖1中，連接AC．

∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，
∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，
∵t=2時，AM=BM=2，BN=CN=2，
∵PM⊥AB，
∴PA=PB，
∴P與C重合，
∵MN∥AC，
∴∠NMP=∠ACM=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°．
故答案為30．

（2）若點P在線段CD上時，過A作AE⊥CD于E，

在菱形ABCD中，AB∥CD，∠D=60°，AB=AD=CD=BC=4
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2，AE=2$\sqrt{3}$，
∴AM=t，PC=2-t
要使四邊形AMCP為平行四邊形，則AM=PC
∴t=2-t得t=1．
若點P在線段DC延長線上時，四邊形AMCP不是平行四邊形．
（3）若點P在線段CD上時，不存在Rt△NPC，
∴只有當P在線段DC延長線上時，才存在Rt△NPC，
如圖3中，當∠NPC=90°時，則M、N、P在同一直線上，
∴∠CNP=∠MNB=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BN，即4-t=$\frac{1}{2}$t，
解得，t=$\frac{8}{3}$．
如圖4中，當∠PNC=90°時，

易知BG=2（4-t），MG=$\sqrt{3}$（4-t），
GN=t-2（4-t）=3t-8，GP=NG÷cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（3t-8），
∵PM=2$\sqrt{3}$，
∴MG+GP=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$（4-t）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（3t-8）=2$\sqrt{3}$，
解得t=10，不合題意，
綜上所述，t=$\frac{8}{3}$s時，△PNC是直角三角形．

點評 本題考查菱形的性質、等邊三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．