Question

4．（1）如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連結(jié)FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證：FG=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC），請(qǐng)寫出證明過程．
（2）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G、連結(jié)FG，（如圖2），寫出線段FG與△ABC三邊的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）首先通過△ABF≌△MBF，得到AB=BM，AF=DF，同理：AC=CN，AG=GN，再根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)果；
（2）首先通過△ABF≌△MBF，得到AB=BM，AF=DF，同理：AC=CN，AG=GN，再根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)AF交BC于M，延長(zhǎng)AG交BC于N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
∵BD平分∠ABM，
∴∠ABF=∠MBF，
在△ABF與△MBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠MFB}\\{BF=BF}\\{∠ABF=∠MBF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AB=BM，AF=BF，
同理：AC=CN，AG=GN，
∴FG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（MB+BC+CN）=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）；

（2）解：延長(zhǎng)AF交BC于M，延長(zhǎng)AG交BC于N，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠MFB=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠MBF，
在△ABF與△MBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠MFB}\\{BF=BF}\\{∠ABF=∠MBF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△MBF（ASA），
∴AB=BM，AF=BF，
同理：AC=CN，AG=GN，
∴FG=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{1}{2}$（NB+BC+CM）=$\frac{1}{2}$（AC+CM）=$\frac{1}{2}$（AC+AB-BC）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．