Question

6．如圖，已知等邊三角形ABC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點D，點E，過點E作EF⊥AB，垂足為點F．
（Ⅰ）求證：EF是⊙O的切線；
（Ⅱ）過點F作FH⊥BC，垂足為點H，若等邊△ABC的邊長為8，求FH的長．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°，證出△OCE是等邊三角形，得出∠OEC=60°，CE=OC，再求出∠AEF=30°，即可得出∠OEF=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）得出CE=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，得出AE、AF，由三角函數(shù)求出BF即可．

解答 （1）證明：連接OE，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°，
∵OC=OE，
∴△OCE是等邊三角形，
∴∠OEC=60°，CE=OC，
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AEF=30°，
∴∠OEF=180°-60°-30°=90°，
即EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：由（1）得：CE=OC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴AE=8-4=4，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=2，
∴BF=8-2=6，
∴FH=BF•sin∠B=6×sin60°=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)；本題綜合性強，有一定難度．