Question

15．如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l₁，l₂，l₃上，且l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，則AC的長是$\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建平行線的距離，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根據(jù)AAS證明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=$\sqrt{13}$，所以BC=$\sqrt{13}$，則由勾股定理可以求得AC的長．

解答 解：分別過A、C作l₃的垂線AE、CF，垂足分別為E、F，交l₂于M，
∵l₂∥l₃，
∴CF⊥l₂，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
∵AB=BC，∠AEB=∠BFC=90°，
∴△AEB≌△BFC，
∴BE=FC，
∵l₁，l₂之間的距離為1，l₂，l₃之間的距離為2，
∴FC=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴AB=BC=$\sqrt{13}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}+（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
故答案為：$\sqrt{26}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，還考查了等腰直角三角形、平行線的距離，因?yàn)橐阎�中兩行線的距離為1和2，所以作三條平行線的垂線段，得到AE和CF的長，又多次運(yùn)用了勾股定理求邊長，從而得出結(jié)論．