Question

6．如圖（1），在矩形ABCD中，將矩形折疊，使點(diǎn)B落在AD（含端點(diǎn)）上，落點(diǎn)記為E，這時(shí)，折痕與邊BC或邊CD（含端點(diǎn)）交于點(diǎn)F，然后再展開鋪平，則以點(diǎn)B、E、F為頂點(diǎn)的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．

（1）如圖（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點(diǎn)位于邊AD的中點(diǎn)時(shí)，畫出“折痕△BEF”，并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（2）如圖（3），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）折痕△BEF如圖（2）中所示，只要證明四邊形BAEF是正方形即可解決問題．
（2）分兩種切線討論：①當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖（3）中所示．因?yàn)镾_△BEF≤$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大；②當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖（4）中所示，當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，△BEF面積最大，分別求出點(diǎn)E坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）折痕△BEF如圖（2）中所示，
連接BE，畫BE的中垂線交BC與點(diǎn)F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個(gè)折痕三角形．

∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點(diǎn)A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點(diǎn)A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（2）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
理由如下：①當(dāng)F在邊BC上時(shí)，如圖（3）中所示．

S_△BEF≤$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時(shí)，面積最大為4．

②當(dāng)F在邊CD上時(shí)，如圖（4）中所示，

過F作FH∥BC交AB于點(diǎn)H，交BE于K．
∵S_△EKF=$\frac{1}{2}$KF•AH≤$\frac{1}{2}$HF•AH=$\frac{1}{2}$S_矩形AHFD，
S_△BKF=$\frac{1}{2}$KF•BH≤$\frac{1}{2}$HF•BH=$\frac{1}{2}$S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤$\frac{1}{2}$S_矩形ABCD=4．
即當(dāng)F為CD中點(diǎn)時(shí)，△BEF面積最大為4．
下面求面積最大時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)．
①當(dāng)F與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖（3）所示．
由折疊可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=$\sqrt{C{E}^{2}-C{D}^{2}}$=2 $\sqrt{3}$．
∴AE=4-2 $\sqrt{3}$．
∴E（4-2 $\sqrt{3}$，2）．
②當(dāng)F在邊DC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，此時(shí)E（0，2）．
綜上所述，折痕△BEF的最大面積為4時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（4-2 $\sqrt{3}$，2）．

點(diǎn)評 本題考查幾何變換綜合題、矩形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論，學(xué)會取特殊位置解決最值問題，屬于中考壓軸題．