Question

4．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的一邊上取一點(diǎn)E，使AE=$\frac{1}{4}$AD，過AB的中點(diǎn)F作HF⊥EC于點(diǎn)H．
（1）求證：FH=FA；
（2）求EH：HC的值．

Answer 1

分析 （1）如圖所示：連接EF，CF．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則AE=a，AF=BF=2a．由勾股定理得：EF=$\sqrt{5}a$，F(xiàn)C=2$\sqrt{5}$a，EC=5a．從而可證明△EFC是直角三角形，利用面積法可求得FH=2a，于是得到FH=FA；
（2）在Rt△EFH中，由勾股定理得：HE=a，從而得到HC=4a，故此可求得EH：HC=1：4．

解答 解：（1）如圖所示：連接EF，CF．

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，則AE=a，AF=BF=2a．
由勾股定理得：EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}a$，$FC=\sqrt{B{F}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，EC=$\sqrt{D{E}^{2}+D{C}^{2}}$=5a．
∵$（\sqrt{5}a）^{2}$+（2$\sqrt{5}$）²=25a²，
∴EF²+FC²=EC²．
∴△EFC是直角三角形．
∴CE•HF=EF•FC，即$5a•HF=\sqrt{5}a•2\sqrt{5}a$．
解得：FH=2a．
∴FH=FA．
（2）由勾股定理得：HE=$\sqrt{E{F}^{2}-F{H}^{2}}$=a．
∵HC=EC-EH，
∴HC=5a-a=4a．
∴EH：HC=a：4a=1：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用，利用面積法求得FH的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．