Question

15．如圖所示，△ABC為等邊三角形，DB=DE，∠BDE=120°，F(xiàn)為CE的中點，求證：AF⊥DF．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，作DN⊥BE于N．延長ND交FM于H，連結FN，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質得BM=CM，AM=$\sqrt{3}$BM，再根據(jù)等腰三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到BN=EN，EN=$\sqrt{3}$DN，則可判斷FN、FM為△EBC的中位線，所以FN=$\frac{1}{2}$BC=BM，F(xiàn)N∥BC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BE=EN，則AM⊥NF，NH⊥FM，于是可利用等角的余角相等可得∠DNF=∠HMA，加上$\frac{FM}{DN}$=$\frac{AM}{NF}$=$\sqrt{3}$，則可判斷△AMF∽△FND得到∠FAM=∠NFD，接著計算出∠AFD=90°，所以AF⊥DF．

解答 證明：作AM⊥BC于M，作DN⊥BE于N．延長ND交FM于H，連結FN，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BM=CM，AM=$\sqrt{3}$BM，
∵DB=DE，∠BDE=120°，
∴BN=EN，∠DEN=30°，
∴EN=$\sqrt{3}$DN，
∵F為CE的中點，
∴FN、FM為△EBC的中位線，
∴FN=$\frac{1}{2}$BC=BM，F(xiàn)N∥BC，F(xiàn)M=$\frac{1}{2}$BE=EN，
∴AM⊥NF，NH⊥FM，
∴∠DNF=∠HMA，
∵$\frac{FM}{DN}$=$\frac{EN}{DN}$=$\sqrt{3}$，$\frac{AM}{NF}$=$\frac{AM}{BM}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{FM}{DN}$=$\frac{AM}{NF}$，
∴△AMF∽△FND，
∴∠FAM=∠NFD，
∴∠AFN+∠NFD=∠FAM+∠AFN=90°，即∠AFD=90°，
∴AF⊥DF．

點評 本題考查了三角形相似的判定與性質：尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進行分解、組合；利用三角形相似的性質計算有關線段的長．也考查了三角形中位線定理和等邊三角形的性質．