Question

10．如圖，已知：四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，連接CE，DE，CD=CE=BE，DE∥BC．
（1）求證：四邊形ADCE是菱形；
（2）若BC=6，CE=5，求四邊形ADCE的面積．

Answer 1

分析 （1）由△BCE≌△DEC，推出∠BED=∠DCE，推出CD∥BE，由E為AB中點(diǎn)，推出BE=AE，推出CD=AE，推出四邊形ADCE是平行四邊形，由CD=CE，即可推出四邊形ADCE是菱形．
（2）由四邊形ADCE是菱形，推出AC⊥DE，由DE∥BC，推出AC⊥BC，推出∠ACB=90°，由E為AB中點(diǎn)，推出CE=$\frac{1}{2}$AB=5，推出AB=10，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，根據(jù)四邊形ADCE的面積=$\frac{1}{2}$•AC•DE即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵DE∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CD=CE=BE，
∴∠BCE=∠B，∠DEC=∠CDE，
∴∠B=∠CDE，
在△BCE和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠DEC}\\{∠B=∠CDE}\\{EC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DEC，
∴∠BED=∠DCE，
∴CD∥BE，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴BE=AE，
∴CD=AE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵CD=CE，
∴四邊形ADCE是菱形，

（2）解：連接AC交DE于點(diǎn)O．
∵△BCE≌△DEC，
∴DE=BC=6，
∵四邊形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∵DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵E為AB中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8，
∴四邊形ADCE的面積=$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{1}{2}$×8×6=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．