Question

14．如圖．將兩塊完全一樣的透明等腰直角角形板ABC、DEF按如圖所示的方式放置，使點D落在線段AB的中點處，直角邊DE與直角邊AC相交于點K，斜邊DF與直角邊相交于點G，連接KG．
（1）求證：△ADK∽△BGD．
（2）求證：△ADK∽△DGK．
（3）若AC=BC=8，KG=x，△DGK的面積為y，請求出y與x的函數(shù)表達式．（不需要寫出x的取值范圍）

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC為等腰直角三角形得到一對角相等，再利用等式的性質得到一對角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；
（2）由（1）的結論，利用相似三角形對應成比例，根據(jù)D為AB中點，代換后再根據(jù)夾角相等，利用兩邊對應成比例且夾角相等的三角形相似即可得證；
（3）如圖所示：過D作AC，KG的垂線，垂足分別為M，N，由KD為角平分線，利用角平分線定理得到DM=DN，利用AAS得到三角形MDK與三角形NDK全等，利用全等三角形對應邊相等得到DM=DN，求出DM的長即為DN的長，三角形DKG面積以KG為底邊，DN為高，利用三角形面積公式列出y與x的函數(shù)表達式即可．

解答 （1）證明：∵∠KAD=∠KDG=∠B=45°，∠KAD+∠BDG=135°，∠DGB+∠BDG=135°，
∴∠KAD=∠DGB，
∴△ADK∽△BGD；
（2）證明：∵△ADK∽△BGD，
∴$\frac{AK}{BD}$=$\frac{KD}{DG}$，
∵D為AB的中點，
∴BD=AD，
∴$\frac{AK}{AD}$=$\frac{KD}{DG}$，即$\frac{AK}{KD}$=$\frac{AD}{DG}$，
∵∠KAD=∠KDG=45°，
∴△AKD∽△DKG；
（3）解：如圖所示：過D作AC，KG的垂線，垂足分別為M，N，

∵KD平分∠AKG，
∴∠MKD=∠NKD，
在△MKD和△NKD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMK=∠DNK}\\{∠MKD=∠NKD}\\{KD=KD}\end{array}\right.$，
∴△MKD≌△NKD（AAS），
∴DM=DN，
∵D為AB的中點，∠KAD=45°，
∴AM=DM=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴DN=4，
∴S_△DKG=$\frac{1}{2}$×DN×KG=$\frac{1}{2}$×4×x=2x，即y=2x（8$\sqrt{2}$-8≤x≤8$\sqrt{3}$-8）．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．