Question

1．如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DE交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠CED=90°；
（2）若AB=13，sin∠C=$\frac{5}{13}$，求CE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可得到∠CDE=90°；
（2）連接AD，易證△CED∽△BDA，由相似三角形的性質(zhì)可得CE和BD，CD，AB的數(shù)量關(guān)系，AB的長已知，再求出CD，BD的長即可求出CE的長．

解答 （1）證明：如圖，連接OD，
∵DE切⊙O于D，OD是⊙O的半徑，
∴∠EDO=90°．                                   
∵OD=OB，
∴∠ABC=∠ODB．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴DO∥AC，
∴∠CED=∠EDO=90°．                       
（2）解：如圖，連接AD，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．     
在Rt△CED和Rt△BDA中，
∠C=∠ABC，∠DEC=∠ADB=90°，
∴△CED∽△BDA，
∴$\frac{CE}{BD}$=$\frac{CD}{AB}$，
∴$CE=\frac{BD•CD}{AB}$．                                
∵AB=AC=13，AD⊥BC，
∴sin∠ABC=$\frac{AD}{AB}$=sin∠C=$\frac{5}{13}$，
∴AD=$\frac{5}{13}$AB=5，
∴CD=BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}$=12．
∴$CE=\frac{12×12}{13}$=$\frac{144}{13}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理，并且能夠熟練運(yùn)用．