Question

7．已知：如圖所示，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，點(diǎn)E在AC的垂直平分線上．
（1）請(qǐng)問：AB、BD、DC有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）如果CD=3BD，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，根據(jù)三線合一的性質(zhì)，可得BD=DE，又由點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=CE，繼而證得DC=AB+BD；
（2）由CD=3BD，結(jié)合（1）中的結(jié)論，易證得AB=2BD，繼而求得∠BAD=30°，則可求得∠B的度數(shù)．

解答 解：（1）AB+BD=DC．
理由：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，
∴BD=DE，
∵點(diǎn)E在AC的垂直平分線上，
∴AE=CE，
∴CE=AB，
∴AB+BD=CE+DE=DC．

（2）∵CD=3BD，AB+BD=CD，
∴AB=2BD，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，
∴∠B=90°-∠BAD=60°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．注意垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．