Question

10．如圖，拋物線y=-x²+2x+m+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：
①當(dāng)x＞0時，y＞0；
②若a=-1，則b=4；
③拋物線上有兩點P（x₁，y₁）和Q（x₂，y₂），若x₁＜1＜x₂，且x₁+x₂＞2，則y₁＞y₂；
④點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為E，點G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時，四邊形EDFG周長的最小值為6$\sqrt{2}$．
其中真命題的序號是（　�。�

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 ①根據(jù)二次函數(shù)所過象限，判斷出y的符號；
②根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱，求出b的值；
③根據(jù)$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，得到x₁＜1＜x₂，從而得到Q點距離對稱軸較遠(yuǎn)，進(jìn)而判斷出y₁＞y₂；
④作D關(guān)于y軸的對稱點D′，E關(guān)于x軸的對稱點E′，連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．求出D、E、D′、E′的坐標(biāo)即可解答．

解答 解：①當(dāng)x＞0時，函數(shù)圖象過一四象限，當(dāng)0＜x＜b時，y＞0；當(dāng)x＞b時，y＜0，故本選項錯誤；
②二次函數(shù)對稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，當(dāng)a=-1時有$\frac{-1+b}{2}$=1，解得b=3，故本選項錯誤；
③∵x₁+x₂＞2，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1，
又∵x₁-1＜0＜x₂-1，
∴Q點距離對稱軸較遠(yuǎn)，
∴y₁＞y₂，故本選項正確；
④如圖，作D關(guān)于y軸的對稱點D′，E關(guān)于x軸的對稱點E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值．
當(dāng)m=2時，二次函數(shù)為y=-x²+2x+3，頂點縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；
則DE=$\sqrt{（2-1）^{2}+（3-4）^{2}}$=$\sqrt{2}$；D′E′=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$=$\sqrt{58}$；
∴四邊形EDFG周長的最小值為$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，故本選項錯誤．
故選C．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)與不等式的關(guān)系、二次函數(shù)的對稱軸、函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、軸對稱--最短路徑問題等，值得關(guān)注．