Question

2．如果拋物線的頂點C₁在拋物線C₂上，同時，拋物線C₂的頂點在拋物線C₁上，那么我們稱拋物線C₁與C₂互相關(guān)聯(lián)．
（1）已知拋物線①y=x²+2x-1，則拋物線②y=-x²+2x+1；③y=x²+2x+1已知拋物線①互相關(guān)聯(lián)的有②（填序號即可）．
（2）如圖所示的是拋物線C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2，將拋物線C₁繞點P（t，2）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，若拋物線C₁與C₂關(guān)聯(lián)．
①求拋物線C₂的解析式．
②當t＜0時，若點A為拋物線C₁的頂點，點B為拋物線C₂的頂點，在y軸上是否存在點C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出拋物線①的頂點坐標，代入拋物線②、③中進行驗證，然后再求得拋物線②、③的頂點坐標代入①中進行驗證，根據(jù)定義的拋物線關(guān)聯(lián)條件即可進行判斷．
（2）①根據(jù)新定義，若拋物線C₁、C₂關(guān)聯(lián)，它們的頂點坐標在對方的函數(shù)圖象上；拋物線C₁繞點P旋轉(zhuǎn)180°后，所得C₂的頂點與拋物線C₁的頂點關(guān)于點P對稱，顯然它們的縱坐標到直線y=2的距離相等（點P在直線y=2上），可據(jù)此求出拋物線C₂的頂點縱坐標，代入拋物線C₁的解析式后即可求出拋物線C₂的頂點，將C₂的解析式設(shè)為頂點式，再將C₁的頂點坐標代入其中即可確定拋物線C₂的解析式．
②根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）∵拋物線①y=x²+2x-1=（x+1）²-2，其頂點坐標為M（-1，-2）．
經(jīng)驗算，點M在拋物線②上，不在拋物線③上，所以，拋物線①與拋物線③不是關(guān)聯(lián)的；
拋物線②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其頂點坐標為N₁（1，2），
經(jīng)驗算點N₁在拋物線①上，所以拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的，物線①與拋物線③不是關(guān)聯(lián)的，
故答案為：②．

（2）①如圖，
拋物線C₁：y=$\frac{1}{8}$（x+1）²-2，的頂點M的坐標為（-1，-2），
因為動點P的坐標為（t，2），所以點P在直線y=2上，
作M關(guān)于P的對稱點N，分別過點M、N作直線y=2的垂線，垂足為E、F，則ME=NF=4，所以點N的縱坐標為6．
當y=6時，$\frac{1}{8}$（x+1）²-2=6，解之得，x₁=7，x₂=-9．
∴N（7，6）或N（-9，6）．
設(shè)拋物線C₂的拋物線為y=a（x-7）²+6．
因為點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，a=-$\frac{1}{8}$．
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-7）²+6；
設(shè)拋物線C₂的拋物線為y=a（x+9）²+6．
因為點M（-1，-2）在拋物線C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，a=-$\frac{1}{8}$．
∴拋物線C₂的解析式為y=-$\frac{1}{8}$（x-7）²+6或y=-$\frac{1}{8}$（x+9）²+6；
②存在點C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，理由如下：
如圖1，
當t＜0時，A（-1，-2），B（-9，6），點C為y軸上的點，可設(shè)點C的坐標為（0，c），
過點B作BE⊥y軸，過點A作AF⊥y軸，
若∠ACB=90°，則∠BCE+∠CBE=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠CBE=∠ACF，又∵∠BEC=∠CFA=90°，
∴△BCE∽△CAF，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{BE}{CF}$，即$\frac{6-c}{1}$=$\frac{9}{c+2}$，
解得c₁=2+$\sqrt{7}$，c₂=2-$\sqrt{7}$，
∴存在點C，使△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，此時C（0，2+$\sqrt{7}$）或（0，2-$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，此題以新定義的形式考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移與旋轉(zhuǎn)等知識，充分理解新定義的含義是解題的關(guān)鍵；（2）①題中，無論函數(shù)圖象怎樣平移或旋轉(zhuǎn)，抓住開口方向、開口大小、頂點坐標即可正確得到新函數(shù)的解析式．②利用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．