Question

12．如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC為邊在△ABC外作等邊三角形ACD，連接BD，則BD=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件得到AB=AC=AD，于是得到點B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理得到∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠$BAC，過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥BD于F，得到∠CAE=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AE，CF=CE=1，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵AB=AC=5，△ABC是等邊三角形，
∴AC=AD=5，
∴AB=AC=AD，
∴點B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∵∠CAD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠CAD=30°，∠BDC=$\frac{1}{2}∠$BAC，
過A作AE⊥BC于E，過C作CF⊥BD于F，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}∠BAC$，∠AEC=∠CFD=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
在△ACE與△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCD}\\{∠AEC=∠DFC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFC，
∴DF=AE，CF=CE=1，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴DF=$\sqrt{C{D}^{2}-C{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∴BD=BF+DF=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{3}$+2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．