Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑．點C、D是半圓O的三等分點，過點C作⊙O的切線交AD的延長線于點E，過點D作DF丄AB于點F，交⊙O于點H．連接DC、AC．
（1）求證：∠AEC=90°；
（2）試判斷以點A、O、C、D為頂點的四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)EC與⊙O切點C，則∠OCE=90°，由題意得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，∠DAC=∠CAB，即可證明AE∥OC，則∠AEC+∠OCE=180°，從而得出∠AEC=90°；
（2）四邊形AOCD為菱形．由（1）得$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，則∠DCA=∠CAB可證明四邊形AOCD是平行四邊形，再由OA=OC，即可證明平行四邊形AOCD是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

解答 解：（1）連接OC，
∵EC與⊙O切點C，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE=90°，
∵點CD是半圓O的三等分點，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90°；
（2）四邊形AOCD為菱形．
理由是：
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CB}$，
∴∠DCA=∠CAB，
∴CD∥OA，
又∵AE∥OC，
∴四邊形AOCD是平行四邊形，
∵OA=OC，
∴平行四邊形AOCD是菱形．

點評 本題考查了切線的性質、等邊三角形的判定和性質、菱形的判定和性質以及解直角三角形，是中學階段的重點內容．