Question

13．△ABC中，AB=AC，以BC為直徑的⊙O與AB交于D，切線DE⊥AC于E，求證：AE=$\frac{1}{3}$CE．

Answer 1

分析 由DE是⊙O的切線和BC為⊙O直徑的，證明△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證得結(jié)論．

解答 解：∵DE是⊙O的切線，
∴∠ODE=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC+∠EDC=∠ODC+∠CDE=90°，
∴∠ODC=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵BC為⊙O直徑的，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠A=∠B，
∴AC=BC，∵AB=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△AED中，∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{4}$AC，CE=AC-AE=$\frac{3}{4}$AC，
∴$\frac{CE}{AE}$=3，
∴AE=$\frac{1}{3}$CE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，證明△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．