Question

10．已知：如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，用余弦、正切的定義證明：
（1）BC²=AB•BD；
（2）CD²=AD•BD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦的定義，分別在Rt△ABC和Rt△DBC中表示出cosB，根據(jù)等式的性質(zhì)計算即可；
（2）證明∠ACD=∠B，根據(jù)∠ACD和∠B的正切值相等計算．

解答 解：（1）∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
在Rt△ABC中，
cosB=$\frac{BC}{AB}$，
在Rt△DBC中，
cosB=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，即BC²=AB•BD；
（2）∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在Rt△ADC中，
tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，
在Rt△DBC中，
tanB=$\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$，即CD²=AD•BD．

點評 本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．