Question

16．四邊形ABCD和CEFG都是正方形（正方形的性質(zhì)是四條邊都相等，四個(gè)角都是直角），連結(jié)BG并延長(zhǎng)DE于點(diǎn)H．
（1）求證：△BCG≌△DEC；
（2）求證：BH⊥DE；
（3）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 cm，當(dāng)CG的長(zhǎng)為多少時(shí)，BH垂直平分DE？寫(xiě)出你的推演過(guò)程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)SAS即可證明△BCG≌△DCE．
（2）由△BCG≌△DCE，推出∠GBC=∠EDC，由∠BGC=∠DGH，推出∠DHB=∠BCG=90°．
（3）因?yàn)锽H⊥DE，所以當(dāng)BD=BE時(shí)，DH=HE，即BH垂直平分DE，求出BE、CE的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG都是正方形，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCG=∠DCE=90°，
在△BCG與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），

（2）證明：∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠EDC，
∵∠BGC=∠DGH，
∴∠DHB=∠BCG=90°，
∴BG⊥DE；

（3）解：∵BH⊥DE，
∴當(dāng)BD=BE時(shí)，DH=HE，即BH垂直平分DE，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴BD=BE=4$\sqrt{2}$，
∴CE=BE-BC=4$\sqrt{2}$-4，
∴CG=CE=4$\sqrt{2}$-4，
∴當(dāng)CG=4$\sqrt{2}$-4時(shí)，BH垂直平分DE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形，涉及正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答．