Question

18．已知直線y=$\frac{3}{4}$x+b與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D在x軸正半軸，且OD=6，點(diǎn)C，M是線段OD的三等分點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)M的左側(cè)）
（1）若直線AB經(jīng)過點(diǎn)（4，6）
①求直線AB的解析式；
②求點(diǎn)M到直線AB的距離；
（2）若點(diǎn)Q在x軸上方的直線AB上，且∠CQD是銳角，試探究：在直線AB上是否存在符合條件的點(diǎn)Q，使得sin∠CQD=$\frac{4}{5}$？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
②根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得即可．
（2）作CE⊥CD，且CE=3，因?yàn)镃D=4，根據(jù)勾股定理得出DE=5，所以sin∠CED=$\frac{4}{5}$，如果AB與x軸上方的優(yōu)弧相交，交點(diǎn)為Q，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，則∠CQD=∠CED，則sin∠CQD=$\frac{4}{5}$，當(dāng)AB經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)E即為Q點(diǎn)，根據(jù)三角形相似求得OB的值為$\frac{3}{2}$，即可求得b的取值．

解答 解：（1）①∵直線AB經(jīng)過點(diǎn)（4，6），
∴6=$\frac{3}{4}$×4+b，則b=3，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3．
②如圖1，設(shè)點(diǎn)M到直線AB的距離為MN，
由直線AB的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+3可知A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=5，
∵OD=6，點(diǎn)C，M是線段OD的三等分點(diǎn)，
∴AM=4+4=8，
∵∠BAO=∠MAN，∠AOB=∠ANM=90°，
∴△AOB∽△ANM，
∴$\frac{MN}{OB}$=$\frac{AM}{AB}$，
∴MN=$\frac{AM•OB}{AB}$=$\frac{8×3}{5}$=$\frac{24}{5}$．

（2）存在；
在CD的垂直平分線上取點(diǎn)I（4，1.5）
以I為圓心，ID為半徑作圓，則⊙I必過點(diǎn)C，
在Rt△MID中，由勾股定理，得：
ID=$\sqrt{{2}^{2}+1．{5}^{2}}$=2.5，
sin∠MID=$\frac{MD}{ID}$=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)直線AB與⊙I相切（切點(diǎn)在第一象限）時(shí)，直線AB上存在唯一一個(gè)符合條件的點(diǎn)Q（切點(diǎn)），使得sin∠CQD=$\frac{4}{5}$（∠CQD=∠MID），此時(shí)設(shè)CD的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)N，
在直線y=$\frac{3}{4}$x+b中，令y=0，則x=-$\frac{4}{3}$b，∴OA=$\frac{4}{3}$|b|，令x=0，則y=b，∴OB=|b|，
由勾股定理，得：AB=$\frac{5}{3}$|b|．
∵∠QNI=ABO，∠IQN=∠AOB=90°，
∴△IQN∽△AOB，
∴$\frac{IQ}{AO}$=$\frac{NI}{AB}$，$\frac{2.5}{\frac{4}{3}|b|}$=$\frac{NI}{\frac{5}{3}|b|}$，NI=$\frac{25}{8}$，
∴NM=$\frac{25}{8}$+$\frac{12}{8}$=$\frac{37}{8}$，N（4，$\frac{37}{8}$），
則把N（4，$\frac{37}{8}$）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=$\frac{13}{8}$，
此時(shí)直線AB的解析式為：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{13}{8}$．
若直線AB過點(diǎn)C，則把C（2，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=-$\frac{3}{2}$，
若直線AB過點(diǎn)D，則把D（6，0）代入y=$\frac{3}{4}$x+b中，得：b=-$\frac{9}{2}$，
∴當(dāng)b＞$\frac{13}{8}$或b≤-$\frac{9}{2}$時(shí)，點(diǎn)Q不存在；
當(dāng)b=$\frac{13}{8}$或-$\frac{9}{2}$＜b≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，存在符合條件的一個(gè)點(diǎn)Q；
當(dāng)-$\frac{3}{2}$＜b＜$\frac{13}{8}$時(shí)，存在符合條件的兩個(gè)點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，三角形相似的判定和直角三角函數(shù)等，（2）作出直角三角形CDE和三角形的外接圓是解題的關(guān)鍵．