Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB₁∥AC，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF上AC交射線BB₁于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長度；
（2）當(dāng)AD＜AE時(shí)，若△DEG與△ACB相似，求t的值；
（3）以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．
①當(dāng)t＞$\frac{3}{5}$時(shí)，連接C′C，得到梯形ACC′A′，設(shè)梯形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)線段A′C′與射線BB′，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求出AB=5，再用AD=AB建立方程求出t，即可得出結(jié)論；
（2）先求出GE，再分兩種情況利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
（3）①先判斷出△AHD∽△ACB得出比例式即可表示出AD=5t，AH=3t，DH=4t，再用等角的同名三角函數(shù)建立方程得出CO，即可AA'，CC'，OD，繼而得出OH，即可得出結(jié)論；
②找出當(dāng)線段A′C′與射線BB′，有公共點(diǎn)時(shí)的分界點(diǎn)，確定出分界點(diǎn)時(shí)的時(shí)間即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴AD=5t，CE=3t，
當(dāng)AD=AB時(shí)，5t=5，
∴t=1，
∴AE=AC+CE=3+3t=6，
∴DE=6-5=1；

（2）易得，四邊形BCEF是矩形，
∴EF=BC=4，G是EF中點(diǎn)，
∴GE=2，
當(dāng)AD＜AE時(shí)，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
當(dāng)△DEG∽△ACB時(shí)，$\frac{DE}{AC}=\frac{EG}{BC}$，
∴$\frac{3-2t}{3}=\frac{2}{4}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)△DEG∽△ACB時(shí)，$\frac{DE}{BC}=\frac{EG}{AC}$，
∴$\frac{3-2t}{4}=\frac{2}{3}$，
∴t=$\frac{1}{6}$，
即：當(dāng)AD＜AE時(shí)，若△DEG與△ACB相似，t的值為$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{6}$；

（3）①如圖1，
由軸對(duì)稱得，AA'⊥DH，CC'⊥DH，AA'=2AH，CC'=2CO，
∵∠A=∠AA'C'，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AH}{3}=\frac{DH}{4}=\frac{AD}{5}$，
∵AD=5t，
∴AH=3t，DH=4t，
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{CO}{CD}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{CO}{5t-3}$，
∴CO=3t-$\frac{9}{5}$，
∴AA'=2AH=6t，CC'=2CO=6t-$\frac{18}{5}$，
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t-3）×$\frac{4}{5}$=4t-$\frac{12}{5}$，
∴OH=DH-OD=$\frac{12}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（AA'+CC'）•OH=$\frac{1}{2}$（6t+6t-$\frac{18}{5}$）=$\frac{72}{5}$t-$\frac{108}{25}$；

當(dāng)點(diǎn)A'落在射線BB'上時(shí)，
如圖2，連接BD，
AA'=AB=5，
∴6t=5，
∴t=$\frac{5}{6}$，

當(dāng)點(diǎn)C'落在射線BB'上時(shí)，
如圖3，
連接CC'，DC'，
易得，CC'∥AB，
∴四邊形ACC'B是平行四邊形，
∴CC'=AB=5，
∴6t-$\frac{18}{5}$=5，
∴t=$\frac{43}{30}$，
∴$\frac{5}{6}$≤t≤$\frac{43}{30}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定的判斷和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的判定和性質(zhì)，梯形的面積公式，解（1）的關(guān)鍵是用AD=AB建立方程，解（2）的關(guān)鍵是分類討論，解（3）的關(guān)鍵求出OH，是一道中考?jí)狠S題．