Question

17．如圖，在平面直角坐標系中有一正方形AOBC，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點，半徑為（6-3$\sqrt{2}$）的圓內(nèi)切于△ABC，則k的值為9．

Answer 1

分析 設正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥AO于點M，DN⊥BO于點N，設圓心為Q，切點為H、E，連接QH、QE．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BD=DO=CD、NO=DN、HQ=QE、HC=CE，根據(jù)半徑為（6-3$\sqrt{2}$）的圓內(nèi)切于△ABC，得出CD的長，從而得出DO的長，再利用勾股定理求出NO²的值，結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求出k值．

解答 解：設正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥AO于點M，DN⊥BO于點N，設圓心為Q，切點為H、E，連接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過正方形AOBC對角線的交點，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
∵QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四邊形HQEC是正方形．
∵半徑為（6-3$\sqrt{2}$）的圓內(nèi)切于△ABC，
∴DO=CD．
∵HQ²+HC²=QC²，
∴2HQ²=QC²=2×（6-3$\sqrt{2}$）²，
∴QC²=108-72$\sqrt{2}$=（6$\sqrt{2}$-6）²，
∴QC=6$\sqrt{2}$-6，
∴CD=6$\sqrt{2}$-6+（6-3$\sqrt{2}$）=3$\sqrt{2}$，
∴DO=3$\sqrt{2}$．
∵NO²+DN²=DO²=（3$\sqrt{2}$）²=18，
∴2NO²=18，
∴NO²=9，
∴DN•NO=9，
即：xy=k=9．
故答案為9．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)切圓及圓心，根據(jù)已知求出CD的長度，進而得出DN×NO=9是解決問題的關鍵．