Question

6．如圖，在正方形ABCD中，對角線AD，BC交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AC，CD邊上，EF∥AD，交BC于點(diǎn)P，若點(diǎn)O是△BEF的重心．
（1）求tan∠ABE的值．
（2）求$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得到CP=2OP，根據(jù)平行線分線段成比例定理、正切的概念計算即可；
（2）設(shè)正方形的邊長為a，求出EF、BP，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)O是△BEF的重心，
∴OB=2OP，
則點(diǎn)P是OC的中點(diǎn)，
∵EF∥AD，
∴點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，
∴tan∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)正方形的邊長為a，
則BC=$\sqrt{2}$a，
∴EF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BP=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$a，
∴$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{3\sqrt{2}}{2}a}{{a}^{2}}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對邊中點(diǎn)的距離的2倍是解題的關(guān)鍵．