Question

13．如圖，邊長為4的正方形ABCD外有一點E，∠AEB=90°，F(xiàn)為DE的中點，連接CF，則CF的最大值為$\sqrt{13}$+1．

Answer 1

分析 先確定其CF最大值的位置，作輔助線，構建中點和中位線，求出∠HFG=90°，則點F在以GH為直徑的半圓上運動，則CF最大時，是經過圓心I，即CF′最大，根據條件求出CI的長，就可以得出結論．

解答 解：連接BD，取BD、AD的中點為H、G，連接FH、GF，
∵F為DE的中點，
∴FH是△BDE的中位線，F(xiàn)G是△ADE的中位線，
∴FH∥BE，F(xiàn)G∥AE，
∴∠HFD=∠BED，∠GFD=∠AED，
∵∠AEB=90°，
∴∠BED+∠AED=90°，
∴∠HFD+∠GFD=90°，
∴∠HFG=90°，
∴點F在以GH為直徑的半圓上運動，
取GH的中點I，
則CF最大時，是經過圓心I，
∵GH是△ABD的中位線，
∴GH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴GI=1，
過I作IM⊥CD于M，
在Rt△CIM中，CM=4-1=3，IM=2，
由勾股定理得：CI=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CF′=$\sqrt{13}$+1，
故答案為：$\sqrt{13}$+1．

點評 本題考查了正方形的性質，也是線段最值問題，此類題都較難，利用了90°的圓周角所對的弦是直徑，構建恰當?shù)妮o助線和輔助圓，將四邊形與圓中的性質相結合，使問題得以解決．