Question

7．已知△ABC中，G是三角形的重心，AB=$\frac{15}{2}$，過點G的直線MN∥AB，交AC于M，BC于N，則MN的長為（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 由MN∥AB易得△CMN∽△CAB，同理可證△CMG∽△CAD，所以$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}=\frac{CG}{CD}$，由G是三角形的重心知$\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，即可求MN的長．

解答 解：如圖所示，連接CD，
∵MN∥AB，
∴∠CMN=∠A，∠CNM=∠B，
∴△CMN∽△CAB，
同理可證△CMG∽△CAD，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{CA}=\frac{CG}{CD}$，
又∵G是三角形的重心，
∴$\frac{CG}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{MN}{AB}$=$\frac{MC}{AC}$=$\frac{CG}{CD}$=$\frac{2}{3}$，
∴MN=$\frac{2}{3}$AB=$\frac{2}{3}$×$\frac{15}{2}$=5．
故選：D．

點評 本題主要考查了三角形的重心的性質，相似三角形的判定及性質．①三角形三邊的中線相交于一點，這點叫做三角形的重心．②重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．③平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所得三角形與原三角形相似．④相似三角形的三邊對應成比例．