Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：
對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當(dāng)∠MPN最大時，稱∠MPN為點P關(guān)于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，
①已知點A（0，2），畫出點A關(guān)于⊙O的“視角”；
若點P在直線x=2上，則點P關(guān)于⊙O的最大“視角”的度數(shù)60°；
②在第一象限內(nèi)有一點B（m，m），點B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，求點B的坐標(biāo)．
（2）若點P在直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2上，且點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，求點P的橫坐標(biāo)x_P的取值范圍．
（3）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，點E的坐標(biāo)為（0，1），點F的坐標(biāo)為（0，-1），若線段EF上所有的點關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，直接寫出點C的橫坐標(biāo)x_C的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①由定義可知即可畫出圖形：當(dāng)∠MPN最大時，此時點P關(guān)于⊙O的視角，此時PM與PN與⊙O相切，從而可求出視角的度數(shù)；
②由①可知：B關(guān)于⊙O的“視角”為60°，此時OB=2，根據(jù)勾股定理即列出方程即可求出m的值；
（2）點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，所以點P在以O(shè)為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi)．
（3）分點C在x軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論計算即可．

解答 解：（1）①畫如圖1所示，

如圖2，當(dāng)∠MPN最大時，此時PM與PN與⊙O相切，
∵⊙O的半徑為r=1，
∴sin∠MPO=$\frac{OM}{OP}$，
當(dāng)OP最小時，此時sin∠MPO最大，即∠MPO最大，
∴sin∠MPO=$\frac{1}{2}$，
∴∠MPO=30°
∴∠MPN=2∠MPO=60°；
故答案為：60°
②∵點B關(guān)于⊙O的視角為60°，
∴BM與⊙O相切，且∠MBO=30°，
∴點B在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即OB=2，

∵B（m，m） （m＞0），
∴OB=$\sqrt{{m}^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{2}$m=2，
∴m=$\sqrt{2}$
∴B（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）；

（2）如圖3，

∵點P關(guān)于⊙O的“視角”大于60°，
∴∠MPO＞30°，
∴sin∠MPO=$\frac{1}{OP}$＞sin30°，
∴OP＜2，
∵點P不在⊙C上，
∴1＜OP＜2
∴點P在以O(shè)為圓心，1為半徑與2為半徑的圓環(huán)內(nèi)，
∵點P在直線y=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2上，
由圖4，

可得x_p=0或x_P=$\sqrt{3}$
∴0＜x_P＜$\sqrt{3}$
（3）如圖5，

①當(dāng)點C在x軸正半軸時，
在線段EF上取一點P，當(dāng)PM，PN都與⊙C相切時，∠MPN最大，當(dāng)∠MPN=120°時，連接CP，
∴∠CPM=60°，
在Rt△PCM中，CM=1，sin∠CPM=$\frac{CM}{CP}$=$\frac{1}{CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵線段EF上所有的點關(guān)于⊙C的“視角”都小于120°，
∴點P和原點O重合時，視角只要小于120°時，即可，OP最大=CP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此時，滿足條件的x_C$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$
②當(dāng)點C在x軸負(fù)半軸時，同①可得，x_C＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即：滿足條件的x_C$＞\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x_C＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，“視角”的定義的理解，解（1）的關(guān)鍵是判斷出PM，PN與⊙O相切時，“視角”最大，解（2）（3）的關(guān)鍵是確定出分界點的坐標(biāo)，是一道中等難度的題目．