Question

5．（1）問題背景
如圖①，BC是⊙O的直徑，點A在⊙O上，AB=AC，P為BmC上一動點（不與B，C重合），求證：$\sqrt{2}$PA=PB+PC．
小明同學觀察到圖中自點A出發(fā)有三條線段AB，AP，AC，且AB=AC，這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊．于是，小明同學有如下思考過程：
第一步：將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；
第二步：證明Q，B，P三點共線，進而原題得證．
請你根據(jù)小明同學的思考過程完成證明過程．
（2）類比遷移
如圖②，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB=AC，AB⊥AC，垂足為A，求OC的最小值．
（3）拓展延伸
如圖③，⊙O的半徑為3，點A，B在⊙O上，C為⊙O內(nèi)一點，AB=$\frac{4}{3}$AC，AB⊥AC，垂足為A，則OC的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①），只要證明△APQ是等腰直角三角形即可解決問題；
（2）如圖②中，連接OA，將△OAC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB，連接OB，OQ，在△BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問題；
（3）如圖③構(gòu)造相似三角形即可解決問題．作AQ⊥OA，使得AQ=$\frac{4}{3}$OA，連接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=$\frac{4}{3}$OC，當BQ最小時，OC最小；

解答 （1）證明：將△PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB（如圖①）；

∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
由旋轉(zhuǎn)可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，
∵∠PCA+∠PBA=180°，
∴∠QBA+∠PBA=180°，
∴Q，B，P三點共線，
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，
∴QP²=AP²+AQ²=2AP²，
∴QP=$\sqrt{2}$AP=QB+BP=PC+PB，
∴$\sqrt{2}$AP=PC+PB．

（2）解：如圖②中，連接OA，將△OAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△QAB，連接OB，OQ，

∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
由旋轉(zhuǎn)可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC
∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°
∴在Rt△OAQ中，OQ=3$\sqrt{2}$，AO=3   
∴在△OQB中，BQ≥OQ-OB=3$\sqrt{2}$-3  
即OC最小值是3$\sqrt{2}$-3

（3）如圖③中，作AQ⊥OA，使得AQ=$\frac{4}{3}$OA，連接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，
∠QAB=∠OAC，
∵$\frac{QA}{OA}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{4}{3}$，
∴△QAB∽OAC，
∴BQ=$\frac{4}{3}$OC，
當BQ最小時，OC最小，
易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ-OB，
∴BQ≥2，
∴BQ的最小值為2，
∴OC的最小值為$\frac{3}{4}$×2=$\frac{3}{2}$，
故答案為$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．