Question

14．如圖1所示，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AD左側(cè)作等腰直角三角形ADF，連接CF，AB=AC，∠BAC=90°．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），線段CF和BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD；
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；

解答 解：（1）CF=BD，且CF⊥BD，證明如下：
∵∠FAD=∠CAB=90°，
∴∠FAC=∠DAB．
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD
∴CF=BD，∠FCA=∠DBA，
∴∠FCD=∠FCA+∠ACD=∠DBA+∠ACD=90°，
∴FC⊥CB，
故CF=BD，且CF⊥BD．

（2）（1）的結(jié)論仍然成立，如圖2，∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
∴CF=BD，且CF⊥BD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，此類題目的特點(diǎn)是各小題求解思路一般都相同．