Question

16．已知拋物線y=-x²+4x-3經(jīng)過(guò)A（1，0），B（3，0），點(diǎn)C（0，-3），在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠PCB＞∠ACB，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 分點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)和右側(cè)考慮．①觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)且不于點(diǎn)C重合時(shí)，∠PCB＞∠ACB，由此可得出x＜0或0＜x＜1；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，連接CA′交拋物線與點(diǎn)E，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可找出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，由點(diǎn)C、A′的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線A′C的解析式，再聯(lián)立直線A′C和拋物線解析式成方程組，通過(guò)解方程組即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合圖形即可找出當(dāng)x＞113時(shí)，∠PCB＞∠ACB．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：分兩種情況考慮：
①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)且不于點(diǎn)C重合時(shí)，觀察圖形可知，∠PCB＞∠ACB，
∴x＜0或0＜x＜1；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B，連接CA′交拋物線與點(diǎn)E，如圖所示．
∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，-3），點(diǎn)A（1，0），
∴∠OBC=45°，AB=3-1=2．
∵點(diǎn)A、A′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，
∴AB=A′B，∠ABC=∠A′BC，
∴∠ABA′=2∠ABC=90°，
∴A′（3，-2）．
設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b（k≠0），
將C（0，-3）、A′（3，-2）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線A′C的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-3．
聯(lián)立直線A′C和拋物線解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-3}\\{y={-x}^{2}+4x-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{11}{3}}\\{{y}_{2}=-\frac{16}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E（$\frac{11}{3}$，-$\frac{16}{9}$），
∴當(dāng)x＞$\frac{11}{3}$時(shí)，∠PCB＞∠ACB．
綜上所述：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠PCB＞∠ACB，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為x＜0或0＜x＜1或x＞$\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及等腰三角形的性質(zhì)，依照題意畫(huà)出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．