Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（0，24），經(jīng)過原點的直線l₁與經(jīng)過點A的直線l₂相交于點B，點B的坐標(biāo)為（18，6）．在x軸上有一點P（a，0），過點P作x軸的垂線分別交直線l₁、l₂于點C、D，直線l₂與x軸交于點E．
（1）求直線l₁、l₂的表達(dá)式；
（2）若線段CD長為15，求此時a的值；
（3）若S_△OBD=$\frac{a}{2}{S}_{△AOB}$，求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）把P點代入兩條直線的解析式，根據(jù)CD之間的距離是15，列出方程解答即可；
（3）設(shè)點P（a，0），過點P作x軸的垂線分別交直線l₂于點D₁、D₂，進(jìn)一步利用S_△OBD=$\frac{a}{2}$S_△AOB，列出方程解答即可．

解答 解：（1）設(shè)直線l₁的表達(dá)式為y=k₁x，
∵過點B（18，6），
∴18k₁=6，
解得：k₁=$\frac{1}{3}$，
∴直線l₁的表達(dá)式為y=$\frac{1}{3}$x；
設(shè)直線l₂的表達(dá)式為y=k₂x+b，
∵過點A （0，24），B（18，6）
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=24}\\{18{k}_{2}+b=6}\end{array}\right.$，解得：k₂=-1，b=24，
∴直線l₂的表達(dá)式y(tǒng)=-x+24；
（2）∵在x軸上有一點P（a，0），過點P作x軸的垂線分別交直線l₁、l₂于點C、D，
∴點C坐標(biāo)為（a，$\frac{1}{3}$a），點D坐標(biāo)為（a，-a+24），
∴$\frac{1}{3}$a-（-a+24）=15或-a+24-$\frac{1}{3}$a=15，
解得：a=$\frac{117}{4}$或a=$\frac{27}{4}$；
（3）設(shè)點P（a，0），
由題意：$\frac{a}{2}$×$\frac{1}{2}$×24×18=$\frac{1}{2}$×24×18-$\frac{1}{2}$×24×a，或$\frac{a}{2}$×$\frac{1}{2}$×24×18=$\frac{1}{2}$×24×a-$\frac{1}{2}$×24×18，
解得a=1.8 或a=-$\frac{9}{4}$（舍棄）
所以P點坐標(biāo)為（-1.8，0）．

點評 此題考查兩條直線的交點問題，三角形的面積計算，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求得兩條直線的交點坐標(biāo)與分類探討得出答案即可．