Question

11．在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上移動(dòng)，且滿足DF=CE．
（1）如圖1，若點(diǎn)E、F分別在邊CB，DC上，則結(jié)論：①AF=DE；②AF⊥DE是否成立？成立（請直接回答“成立”或“不成立”）
（2）如圖2，若點(diǎn)E、F分別在邊CB，DC的延長線上，此時(shí)結(jié)論：①AF=DE；②AF⊥DE是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，若點(diǎn)E、F分別在邊CB，DC的延長線上，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，
①探索點(diǎn)O到DE、AF的距離是否相等；
②若$AB=2\sqrt{5}$，DG=4，求△DGO的面積．

Answer 1

分析 （1）首先由正方形的性質(zhì)得AD=DC，∠ADF=90°，利用全等三角形的SAS判定得△ADF≌△DCE，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）首先由正方形的性質(zhì)得AD=DC，∠ADF=90°，利用全等三角形的HL判定得Rt△ADF≌Rt△DCE，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（3）①首先利用正方形的性質(zhì)得AC=BD，BC=DC，由（2）得AF=DE，△ACF≌△DBE，利用S_△AOF=S_△DOE，得出結(jié)論；
②由（2）的結(jié)論，利用勾股定理可得AG，再利用△ADF的面積為$\frac{1}{2}$DG•AF或$\frac{1}{2}$DF•AD得：DG•AF=DF•AB，利用勾股定理，組成方程組解得FG，DF，利用三角形面積公式得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵在△ADF與△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠DCE=90°}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDA，
∵∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠CDA+∠AFD=90°，
∴∠DGF=90°，
∴AF⊥DE，
故答案為：成立；

（2）結(jié)論依然成立，理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠DCB=90°，即∠ADF=∠DCE，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠DCE}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠ADG+∠CDE=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；

（3）①連接OE、OF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC=BD，BC=DC，
∵DF=CE，
∴CF=BE，
由（2）知AF=DE，
在△ACF與△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BE}\\{AC=DB}\\{AF=DB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DBE（SSS），
∴∠CAF=∠BDE，
∵OA=OD，
∴△AOF≌△DOE，
∴S_△AOF=S_△DOE，
設(shè)點(diǎn)O到DE、AF的距離分別為h₁、h₂，
則$\frac{1}{2}DE•{h_1}=\frac{1}{2}AF•{h_2}$，
∴h₁=h₂，即點(diǎn)O到DE、AF的距離相等；
②由（2）知，AF⊥DE，即∠AGD=90°，
∴$AG=\sqrt{A{D^2}-D{G^2}}=\sqrt{A{B^2}-D{G^2}}=\sqrt{{{（2\sqrt{5}）}^2}-{4^2}}=2$
由$\left\{\begin{array}{l}D{G^2}+F{G^2}=D{F^2}\\ DG•AF=AB•DF\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}16+F{G^2}=D{F^2}\\ 4（FG+2）=2\sqrt{5}DF\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}FG=8\\ DF=4\sqrt{5}\end{array}\right.$，
∴$BE=CF=DF-DC=4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，
DE=AF=AG+FG=2+8=10，
∴${S_{△DEB}}=\frac{1}{2}BE•DC=\frac{1}{2}×{（2\sqrt{5}）^2}=10$，
∴${S_{△DOE}}=\frac{1}{2}{S_{△DEB}}=\frac{1}{2}×10=5$，即$\frac{1}{2}DE•{h_1}=5$，
∴h₁=1，
∴${S_{△DGO}}=\frac{1}{2}DG•{h_1}=\frac{1}{2}×4×1=2$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，三角形的面積公式，結(jié)合圖形，綜合利用各定理是解答此題的關(guān)鍵．