Question

6．如圖，在正方形ABCD和正方形DEFG中，點G在AD上，連接AC，BF交于點H，連接DH．若BC=4，DG=1，那么DH的長是$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD、EFGD是正方形，得到EF=DG=DE=1，AB=CD=BC=4，∠E=90°，延長FG交AC于P交BC于Q，得到四邊形ECQF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FQ=CE=5，CQ=EF=1，證出△BCH≌△DCH，得到BH=DH，又通過△ABH≌△FPH，得到BH=FH，于是得到BH=FH=DH=$\frac{1}{2}$BF，在R_t△BFQ中，BF=$\sqrt{F{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，問題可得．

解答 解：∵四邊形ABCD、EFGD是正方形，
∴EF=DG=DE=1，AB=CD=BC=4，∠E=90°，
延長FG交AC于P交BC于Q，
∴四邊形ECQF是矩形，
∴FQ=CE=5，CQ=EF=1，
在△BCH與△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCH=∠DCH=45°}\\{CH=CH}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△DCH，
∴BH=DH，
∵∠ACB=45°，
∴∠CPQ=45°，
∴PQ=CQ=1，
∴PF=4，∵AB∥QF，
∴∠ABH=∠BFP，
在△ABH與△FPH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠HFP}\\{∠AHB=∠PHF}\\{AB=FP=4}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△FPH，
∴BH=FH，
∴BH=FH=DH=$\frac{1}{2}$BF，
在R_t△BFQ中，BF=$\sqrt{F{Q}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{34}}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．