Question

17．如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若PA：PB：PC=1：2：3，則∠APB的度數(shù)是（　�。�

• A． 120°
• B． 135°
• C． 145°
• D． 150°

Answer 1

分析 利用PA：PB：PC=1：2：3可設(shè)PA=a，PB=2a，PC=3a，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=BC，∠ABC=90°，則可把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠PBQ=90°，∠BQC=∠BPA，BP=BQ=2a，CQ=AP=a，則可判斷△PBQ為等腰直角三角形，得到PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$a，∠PQB=45°，然后在△PCQ中根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△PCQ為直角三角形，∠PQC=90°，于是∠BQC=∠PQB+∠PQC=135°，所以∠APB=135°．

解答 解：由PA：PB：PC=1：2：3，可設(shè)PA=a，PB=2a，PC=3a，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BCQ，如圖，
∴∠PBQ=90°，∠BQC=∠BPA，BP=BQ=2a，CQ=AP=a，
∴△PBQ為等腰直角三角形，
∴PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$a，∠PQB=45°，
在△PCQ中，∵PQ=2$\sqrt{2}$a，CQ=a，PC=3a，
∴PQ²+CQ²=PC²，
∴△PCQ為直角三角形，∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠PQB+∠PQC=45°+90°=135°，
∴∠APB=135°．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理的逆定理和正方形的性質(zhì)．