Question

4．已知：直線l₁與直線l₂平行，且它們之間的距離為3，A，B是直線l₁上的兩個(gè)定點(diǎn)，C，D是直線l₂上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），AB=CD=6，連接AC、BD、BC，將△ABC沿BC折疊得到△A₁BC．（如圖1）
（1）當(dāng)A₁與D重合時(shí)（如圖2），四邊形ABDC是什么特殊四邊形，為什么？
（2）當(dāng)A₁與D不重合時(shí)，連接A₁D，則A₁ D∥BC（不需證明），此時(shí)若以A₁，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩
形，且矩形的邊長(zhǎng)分別為a，b，求（a+b）²的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=CD，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；
（2）討論：當(dāng)∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S_△A1CB=S_△ABC=6，則S_矩形A1CBD=12，即ab=12，由BA₁=BA=6，根據(jù)勾股定理得到a²+b²=36，然后根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；當(dāng)∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=3，而CD=6，所以（a+b）²=（3+6）²．．

解答 解：（1）四邊形ABDC是菱形；
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
又∵A₁與D重合時(shí)，
∴AC=CD，
∴四邊形ABDC是菱形；
（2）當(dāng)以A₁，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形如圖1時(shí)，連結(jié)A₁B，S_△A1CB=S_△ABC=$\frac{1}{2}×6×3=9$
∴S_矩形A1CBD=18，即ab=18，而在Rt△BCD中，
∴a²+b²=CD²=36
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=36+36=72，
當(dāng)以A₁，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為矩形如圖2時(shí)，
∴（a+b）²=（3+6）²=81，
∴（a+b）²的值為72或81．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握平四邊形的判定與性質(zhì)以及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用折疊的性質(zhì)確定相等的線段和角．