Question

4．定義：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線段PQ和點(diǎn)M，在△MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2時(shí)，稱(chēng)M為PQ的“等高點(diǎn)”，稱(chēng)此時(shí)MP+MQ為PQ的“等高距離”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在點(diǎn)A（1，0），B（$\frac{5}{2}$，4），C（0，3）中，PQ的“等高點(diǎn)”是A、B；
②若M（t，0）為PQ的“等高點(diǎn)”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時(shí)t的值．
（2）若P（0，0），PQ=2，當(dāng)PQ的“等高點(diǎn)”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“等高點(diǎn)”的概念解答即可；
（2）①先確定出點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，再根據(jù)最短路徑的求法即可確定最小距離；②先證明“等高距離”最小時(shí)△MPQ為等腰三角形，再利用勾股定理求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在點(diǎn)A（1，0），B（$\frac{5}{2}$，4）到PQ的距離為2．
∴PQ的“等高點(diǎn)”是A、B，
故答案為：A、B；
②如圖1，作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，連接P′Q，P′Q與x軸的交點(diǎn)即為“等高點(diǎn)”M，此時(shí)“等高距離”最小，最小值為線段P′Q的長(zhǎng)．
∵P （1，2），
∴P′（1，-2）．

設(shè)直線P′Q的表達(dá)式為y=kx+b，
根據(jù)題意，有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$．

∴直線P′Q的表達(dá)式為$y=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$．
當(dāng)y=0時(shí)，解得$x=\frac{5}{2}$．
即$t=\frac{5}{2}$．
根據(jù)題意，可知PP′=4，PQ=3，PQ⊥PP′，
∴$P'Q=\sqrt{PP{'^2}+P{Q^2}}=5$．
∴“等高距離”最小值為5．
（2）如圖2，過(guò)PQ的“等高點(diǎn)”M作MN⊥PQ于點(diǎn)N，

∴PQ=2，MN=2．
設(shè)PN=x，則NQ=2-x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
MP²=2²+x²=4+x²，MQ²=2²+（2-x）²=x²-4x+8，
∴MP²+MQ²=2x²-4x+12=2（x-1）²+10，
∵M(jìn)P²+MQ²≤（MP+MQ）²，
∴當(dāng)MP²+MQ²最小時(shí)MP+MQ也最小，此時(shí)x=1，
即PN=NQ，
∴△MPQ為等腰三角形，
∴MP=MQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
如圖3，設(shè)Q坐標(biāo)為（x，y），過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥y軸于點(diǎn)E，

則在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE²=QP²-OE²=2²-y²=4-y²，$Q{E}^{2}=Q{M}^{2}-M{E}^{2}=（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{5}-y）^{2}$=$2\sqrt{5}y-{y}^{2}$，
∴4-${y}^{2}=2\sqrt{5}y-{y}^{2}$．
解得y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
$Q{E}^{2}=4-{y}^{2}=4-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}=\frac{16}{5}$，
當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí)x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，當(dāng)點(diǎn)Q在第二象限時(shí)x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$）或Q（$-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)定義新概念的理解和最短路徑問(wèn)題，確定出P關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的位置是解決本題的關(guān)鍵．