Question

3．如圖，四邊形ABCD為正方形（各邊相等，各內(nèi)角為直角），E是BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的一點(diǎn)．
（1）若△CFE的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，求證：∠EAF=45°；
（2）在（1）的條件下，若DF=2，CF=4，CE=3，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)CF至G，使DG=BE，連接AG，由已知條件得出CE+CF+EF=CD+BC，得出DF+BE=EF，證出DF+DG=EF，即GF=EF，由SAS證明△ABE≌△ADG，得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，證出∠EAG=90°，由SSS證明△AEF≌△AGF，得出∠EAF=∠GAF=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（2）由已知條件得出AB=AD=CD=BC=6，BE=BC-CE=3，由（1）得：△AEF的面積=△AGF的面積=△ABE的面積+△ADF的面積，即可得出答案．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)CF至G，使DG=BE，連接AG，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠ADG=90°，
∵△CFE的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，
∴CE+CF+EF=CD+BC，
∴DF+BE=EF，
∴DF+DG=EF，即GF=EF，
在△ABE和△ADG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠ABE=∠ADG=90°}&{\;}\\{BE=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∴∠EAG=90°，
在△AEF和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}&{\;}\\{GF=EF}&{\;}\\{AF=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF=∠GAF=$\frac{1}{2}$×90°=45°；
（2）解：∵DF=2，CF=4，CE=3，
∴AB=AD=CD=BC=2+4=6，BE=BC-CE=3，
由（1）得：△AEF的面積=△AGF的面積=△ABE的面積+△ADF的面積=$\frac{1}{2}$×6×3+$\frac{1}{2}$×6×2=15．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．