Question

2．綜合與實踐
問題情境
如圖，同學們用矩形紙片ABCD開展數學探究活動，其中AD=8，CD=6．
操作計算
（1）如圖（1），分別沿BE，DF剪去Rt△ABE和Rt△CDF兩張紙片，如果剩余的紙片BEDF是菱形，求AE的長；
操作探究
把矩形紙片ABCD沿對角線AC剪開，得到△ABC和△C′DA′兩張紙片．
（2）將兩張紙片如圖（2）擺放，點C和點C′重合，點B，C，D在同一條直線上，連接A′A，記A′A的中點為M，連接BM，MD，發(fā)現△BMD是等腰直角三角形，請證明；
（3）如圖（3），將兩張紙片疊合在一起，然后將△A′DC′紙片繞點B順時針旋轉α（0°＜α＜90°），連接AC′和A′C，探究并直接寫出線段AC′與A′C的關系．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質得出AB=CD=6，∠A=90°，由菱形的性質得出BE=DE=AD-AE=8-AE，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）連接MC，證出△ACA'是等腰直角三角形，得出∠CA'A=45°，由直角三角形斜邊上的中線性質和等腰三角形的性質得出A'M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA'，證出∠BCM=∠DA'M，由SAS證明△BCM≌△DA'M，得出BM=DM，∠BMC=∠DMA'，由角的雇傭關系證出∠BMD=90°，即可得出結論；
（3）延長AC'、A'C交于點M，由旋轉的性質得：BC'=BA，BA'=BC，∠A'BC=∠ABC，∠BA'C=∠BC'A，證出∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，由四邊形內角和定理得出∠A'BC'+∠M=180°，證出∠M=90°，得出AC'⊥A'C，證明△ABC'∽△C'BA'，得出對應邊成比例$\frac{AC′}{A′C}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{4}$，即可得出AC'=$\frac{3}{4}$A'C．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，CD=6，
∴AB=CD=6，∠A=90°，
∵四邊形BEDF是菱形，
∴BE=DE=AD-AE=8-AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+AE²=BE²，
即6²+AE²=（8-AE）²，
解得：AE=$\frac{7}{4}$；
（2）證明：連接MC，如圖2所示：
根據題意得：△ABC≌△CDA'，∠CDA'=90°，
∴AC=A'C，∠BCA=∠CA'D，∠CA'D+∠A'CD=90°，
∴∠BCA+∠A'CD=90°，
∵點B，C，D在同一條直線上，
∴∠ACA'=90°，
∴△ACA'是等腰直角三角形，
∴∠CA'A=45°，
∵M是AA'的中點，
∴A'M=CM=AM，∠MCA=45°，CM⊥AA'，
∵∠BCA=∠CA'D，
∴∠BCA+∠MCA=∠CA'D+∠CA'A，
∴∠BCM=∠DA'M，
在△BCM和△DA'M中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DA'}&{\;}\\{∠BCM=∠DA′M}&{\;}\\{CM=A′M}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DA'M（SAS），
∴BM=DM，∠BMC=∠DMA'，
∵∠CMD+∠DMA'=90°，
∴∠CMD+∠BMC=90°，
∴∠BMD=90°，
∴△BMD是等腰直角三角形；
（3）解：AC'⊥A'C，AC'=$\frac{3}{4}$A'C，理由如下：
延長AC'、A'C交于點M，如圖3所示：
由旋轉的性質得：BC'=BA，BA'=BC，∠A'BC=∠ABC，∠BA'C=∠BC'A，
∴∠BAC=∠BC'A，∠BCA'=∠BA'C，
∴∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，
∵∠BC'A+∠BC'M=180°，
∴∠BA'C+∠BC'M=180°，
∴∠A'BC'+∠M=180°，
∵∠A'BC'=∠ABC=90°，
∴∠M=90°，
∴AC'⊥A'C，
∵∠BAC=∠BC'A=∠BCA'=∠BA'C，
∴△ABC'∽△C'BA'，
∴$\frac{AC′}{A′C}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴AC'=$\frac{3}{4}$A'C．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、菱形的性質、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、相似三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度．