Question

12．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，連接BD，將△ABD繞B點作順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′D′（B′與B重合），且點D′剛好落在BC的延長上，A′D′與CD相交于點E．
（1）求矩形ABCD與△A′B′D′重疊部分（如圖1中陰影部分A′B′CE）的面積；
（2）將△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直線BC向右平移，如圖2，當(dāng)B′移動到C點時停止移動．設(shè)矩形ABCD與△A′B′D′重疊部分的面積為y，移動的時間為x，請你直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的平移過程中，是否存在這樣的時間x，使得△AA′B′成為等腰三角形？若存在，請你直接寫出對應(yīng)的x的值，若不存在，請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B′D′=BD=10，CD′=B′D′-BC=2，由tan∠B′D′A′=$\frac{A′B′}{A′D′}=\frac{CE}{CD′}$，可求出CE，即可計算△CED′的面積，S _A′B′CE=S _A′B′D′-S _CED′；
（2）分類討論，當(dāng)0≤x≤$\frac{16}{5}$時和當(dāng)$\frac{16}{5}$＜x≤4時，分別列出函數(shù)表達(dá)式；
（3）分類討論，當(dāng)AB′=A′B′時；當(dāng)AA′=A′B′時；當(dāng)AB′=AA′時，根據(jù)勾股定理列方程即可．

解答 解：（1）∵AB=6cm，AD=8cm，
∴BD=10cm，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知B′D′=BD=10cm，CD′=B′D′-BC=2cm，
∵tan∠B′D′A′=$\frac{A′B′}{A′D′}=\frac{CE}{CD′}$，
∴$\frac{6}{8}=\frac{CE}{2}$，
∴CE=$\frac{3}{2}$cm，
∴S _A′B′CE=S _A′B′D′-S _CED′=$\frac{8×6}{2}-2×\frac{3}{2}÷2=\frac{45}{2}$（cm²）；
（2）①當(dāng)0≤x＜$\frac{16}{5}$時，CD′=2x+2，CE=$\frac{3}{2}$x，
∴S_△CD′E=$\frac{3}{2}$x²⁺$\frac{3}{2}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{3}{2}$x²=-$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+24；
②當(dāng)$\frac{16}{5}$≤x≤4時，BC=10-2x，CE=$\frac{4}{3}$（10-2x）
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$（10-2x）²=$\frac{8}{3}$x²-$\frac{80}{3}$x+$\frac{200}{3}$．
（3）①如圖1，當(dāng)AB′=A′B′時，x=0秒；
②如圖2，當(dāng)AA′=A′B′時，A′N=BM=BB′+B′M=2x+$\frac{18}{5}$，A′M=NB=$\frac{24}{5}$，
∵AN²+A′N²=36，
∴（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²=36，
解得：x=$\frac{{6\sqrt{6}-9}}{5}$秒，（x=$\frac{{-6\sqrt{6}-9}}{5}$舍去）；
③如圖2，當(dāng)AB′=AA′時，A′N=BM=BB′+B′M=2x+$\frac{18}{5}$，A′M=NB=$\frac{24}{5}$，
∵AB²+BB′²=AN²+A′N²
∴36+4x²=（6-$\frac{24}{5}$）²+（2x+$\frac{18}{5}$）²
解得：x=$\frac{3}{2}$秒．
綜上所述，使得△AA′B′成為等腰三角形的x的值有：0秒、$\frac{3}{2}$秒、$\frac{{6\sqrt{6}-9}}{5}$．

點評 本題主要考查了圖形的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，能夠數(shù)形結(jié)合，運用分類討論的思想方法全面的分析問題，思考問題是解決問題的關(guān)鍵．