Question

19．如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，P是邊AC上的一動點，PE⊥AB于點E，EF⊥BC于點F．設(shè)AP=x，則能使以點P、C、F為頂點的三角形與以A、P、E為頂點的三角形相似的x=$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AB，再設(shè)AP=a，利用∠A的余弦表示出AE，再求出BE，利用∠B的余弦求出BF，然后求出CF，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出$\frac{CF}{PF}$，然后求解即可．

解答 解：在∠C=90°，BC=4，AC=3，
由勾股定理得，AB=5，
設(shè)AP=x，
則AE=AP•cosA=$\frac{3}{5}$x，
所以，BE=5-$\frac{3}{5}$x，
BF=BE•cosB=$\frac{4}{5}$×（5-$\frac{3}{5}$x）=4-$\frac{12}{25}$x，
所以，CF=4-（4-$\frac{12}{25}$x）=$\frac{12}{25}$x，
∵△PCF與△APE相似，
∴$\frac{PC}{CF}$=$\frac{AE}{PE}$，或$\frac{PC}{CF}$=$\frac{PE}{AE}$，
即$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{4}{3}$，
解得x=$\frac{75}{34}$或x=$\frac{75}{41}$，
故答案為：$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于（2）利用銳角三角函數(shù)表示出相應(yīng)的邊并分情況討論．