Question

3．如圖①，點(diǎn)A（0，a），B（b，0）分別為y軸正半軸，x軸正半軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，且a，b滿(mǎn)足等式b=$\sqrt{a-\sqrt{5}}$+$\sqrt{\sqrt{5}-a}$+$\sqrt{5}$．
（1）求出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)并說(shuō)明△AOB的形狀；
（2）若∠ECF=90°且與y軸負(fù)半軸，x軸正半軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求OF-OE的值；
（3）如圖②，若∠FCE=45°，交y軸正半軸于E點(diǎn)，交x軸負(fù)半軸于F點(diǎn)，若OF+EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，求F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次根式的非負(fù)性得：a=$\sqrt{5}$，b=$\sqrt{5}$，表示出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，并知道△AOB是等腰直角三角形；
（2）連接OC，如圖1，證明△CBF≌△COE，得OE=BF，根據(jù)線段的差可得結(jié)論；
（3）作輔助線，構(gòu)建三角形全等，分別證明△COF≌△CAG和△CEF≌△CEG，設(shè)EF=x，構(gòu)建勾股定理列方程可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得：a-$\sqrt{5}$=0，
a=$\sqrt{5}$，
∴b=$\sqrt{5}$，
∴A（0，$\sqrt{5}$），B（$\sqrt{5}$，0），
∴OA=OB=$\sqrt{5}$，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形；

（2）連接OC，如圖1，
∵C是AB的中點(diǎn)，△AOB是等腰直角三角形，
∴OC=BC，OC⊥AB，∠COB=∠CBO=45°，
∴∠OCE+∠ECB=90°，
∵∠ECF=90°，
∴∠ECB+∠BCF=90°，
∴∠OCE=∠BCF，
∵∠EOC=90°+45°=135°，
∠CBF=180°-45°=135°，
∴∠EOC=∠CBF，
∴△CBF≌△COE，
∴OE=BF，
∴OF-OE=OF-BF=OB=$\sqrt{5}$；

（3）如圖3，連接OC，過(guò)C作CG⊥CF，交y軸于G，
同理得：OC=AC，∠COF=∠CAG=135°，
∵∠ECF=45°，
∴∠ECG=∠ACE+∠FCO=45°，
即∠ACE+∠ACG=∠ACE+∠FCO，
∴∠ACG=∠FCO，
∴△COF≌△CAG，
∴OF=AG，CF=CG，
∵CE=CE，
∴△CEF≌△CEG，
∴EF=EG，
設(shè)EF=x，則EF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x，OE=x+$\sqrt{5}$-（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x）=2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由勾股定理得：（$\frac{3\sqrt{5}}{2}$-x）²=x²+（2x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
解得：x=$\frac{-\sqrt{5}±\sqrt{210}}{8}$，
∴OF=$\frac{-\sqrt{5}+\sqrt{210}}{8}$，
∴F（$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{210}}{8}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理，本題第三問(wèn)較難，恰當(dāng)?shù)刈鞒鲚o助線構(gòu)建全等三角形的關(guān)鍵．