Question

16．如圖，已知△ABC中，∠A=58°，如果：（1）O為外心；（2）O為內(nèi)心；（3）O為垂心．分別求以上三種條件下的∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理直接利用∠A的度數(shù)求得∠BOC的度數(shù)即可；
（2）根據(jù)O為△ABC的內(nèi)心得到∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，根據(jù)∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°得到$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=61°，從而求得∠OBC+∠OCB=61°，進一步求得∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=119°；
（3）延長AO、BO、CO分別交三邊于點D、E、F，根據(jù)垂心的定義得到AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，從而得到∠BOD=∠ACB，∠COD=∠ABC，求得∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°．

解答 解：（1）∵點O為△ABC的外心，
∴由圓周角定理得：∠BOC=2∠A=2×58°=116°；

（2）∵O為△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABO=∠OBC=$\frac{1}{2}$ABC，∠ACO=∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A=122°，
∴$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=61°，
即∠OBC+∠OCB=61°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=119°；

（3）如圖所示，延長AO、BO、CO分別交三邊于點D、E、F，
則AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BOD=∠ACB，∠COD=∠ABC，
∴∠BOC=∠ACB+∠ABC=180°-∠A=122°．

點評 本題考查了三角形的五心的知識及三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形得出外接圓與外心，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．