Question

17．若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩實數(shù)根為x₁、x₂，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：
x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．這一結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，它的應(yīng)用很多，請完成下列各題：
（1）應(yīng)用一：用來檢驗解方程是否正確．
本卷第19題中的第（2）題是：解方程x²-5x+3=0
檢驗：先求x₁+x₂=5，x₁x₂=3．
再將你解出的兩根相加、相乘，即可判斷解得的根是否正確．（本小題完成填空即可）
（2）應(yīng)用二：用來求一些代數(shù)式的值．
①已知：x₁、x₂是方程x²-4x+2=0的兩個實數(shù)根，求（x₁-1）（x₂-1）值；
②若m、n是方程x²+4x-2016=0的兩個實數(shù)根，求代數(shù)式m²+5m+n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出x₁+x₂=5、x₁x₂=3，此題得解；
（2）①根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂=4、x₁x₂=2，將（x₁-1）（x₂-1）展開代入數(shù)值即可得出結(jié)論；
②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解可得出m+n=-4、mn=-2016、m²+4m=2016，將其代入m²+5m+n中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得：x₁+x₂=-$\frac{a}$=5，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=3．
故答案為：5；3．
（2）①∵x₁、x₂是方程x²-4x+2=0的兩個實數(shù)根，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$=4，x₁x₂=$\frac{c}{a}$=2，
∴（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=2-4+1=-1；
②∵m、n是方程x²+4x-2016=0的兩個實數(shù)根，
∴m+n=-4，mn=-2016，m²+4m=2016，
∴m²+5m+n=m²+4m+（m+n）=2016+（-4）=2012．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟練掌握“兩根之和等于-$\frac{a}$，兩根之積等于$\frac{c}{a}$”是解題的關(guān)鍵．