Question

16．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=6$\sqrt{3}$，點E在AB上，CE=2$\sqrt{7}$，將CE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到的線段與BD相交于點F，請你畫出圖形，直接寫出DF的長，并畫出體現(xiàn)解法的輔助線．

Answer 1

分析 如圖，作CH⊥AB于H，E′Q⊥BD于Q，根據(jù)菱形的性質(zhì)得BA=BC，AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，OA=OC，則可判斷△ABC為等邊三角形，得到OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=3，CH=OB=3$\sqrt{3}$，接著利用勾股定理計算出EH=1，則AE=2，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DE′=AE=2，在Rt△DE′Q中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠E′Q=$\frac{1}{2}$DE′=1，DQ=$\sqrt{3}$E′Q=$\sqrt{3}$，再根據(jù)平行線分線段成比例定理可計算出QF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是得到DF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：如圖，
作CH⊥AB于H，E′Q⊥BD于Q，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，AC⊥BD，BO=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{3}$，OA=OC，
而∠ABC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=3，CH=OB=3$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=3，
在Rt△CHE中，EH=$\sqrt{C{E}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{7}）^{2}-（3\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴AE=2，
∵CE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到的線段與BD相交于點F，
而∠ACD=60°，CA=CD，
∴△CAE旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE′，
∴DE′=AE=2，
在Rt△DE′Q中，∵∠E′DQ=30°，
∴∠E′Q=$\frac{1}{2}$DE′=1，DQ=$\sqrt{3}$E′Q=$\sqrt{3}$，
∴OQ=OD-DQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵E′Q∥OC，
∴$\frac{QF}{OF}$=$\frac{E′Q}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴QF=$\frac{1}{4}$OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DF=DQ+QF=$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．