Question

17．已知菱形ABCD，∠A等于120°，AB=6，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)、M分別在AD、DC上滑動(dòng)，且FM=3，則△FME面積的最大值為（　　）                                     

• A． 12
• B． 6
• C． $\frac{7}{4}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 找出CD的中點(diǎn)G，連接EG，可證得四邊形AEGD是平行四邊形，因?yàn)椤鱂ME在?AEGD中，三角形FME面積最大不會(huì)超過?AEGD面積的一半，又FM=3，所以當(dāng)F與點(diǎn)D重合時(shí)，面積最大，最大為?AEGD面積的一半，由此得出答案即可．

解答 解：如圖，

G為CD的中點(diǎn)，連接EG，
∵菱形ABCD，
∴AB∥CD，AB=BC=CD=DA，
∵E為AB的中點(diǎn)，G為CD的中點(diǎn)，
∴AE=GD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴四邊形AEGD是平行四邊形，
∵△FME在?AEGD中，
∴△FME面積最大不會(huì)超過?AEGD面積的一半，
∵FM=3，當(dāng)F與點(diǎn)D重合時(shí)，面積最大，
∴△FME面積最大為?AEGD面積的一半，
∵∠A等于120°，AD=AB=6，作AH⊥CD垂足為點(diǎn)H，
∴∠D=60°，AH=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴△FME的最大面積=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，掌握在一個(gè)平行四邊形中三角形的面積最大是所在平行四邊形面積的一半是解決問題的根本．