Question

5．已知：△ABC中，ED∥BC，BD與CE交于點(diǎn)O，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，求證：M是BC中點(diǎn)．

Answer 1

分析 根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADG∽△ABM，△AEG∽△ACM，由相似三角形性質(zhì)得到$\frac{DG}{BM}=\frac{AG}{AM}$，$\frac{GE}{CM}=\frac{AG}{AM}$，等量代換得到$\frac{DG}{EG}=\frac{BM}{CM}$，同理可得$\frac{DG}{EG}=\frac{CM}{BM}$，等量代換$\frac{BM}{CM}=\frac{CM}{BM}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵ED∥BC，
∴△ADG∽△ABM，△AEG∽△ACM，
∴$\frac{DG}{BM}=\frac{AG}{AM}$，$\frac{GE}{CM}=\frac{AG}{AM}$，
∴$\frac{DG}{BM}=\frac{EG}{CM}$，
即$\frac{DG}{EG}=\frac{BM}{CM}$，
∵ED∥BC，
∴△DGO∽△CMO，△GEO∽△BMO，
∴$\frac{DG}{CM}=\frac{OG}{OM}$，$\frac{GE}{BM}=\frac{OG}{OM}$，
∴$\frac{DG}{CM}=\frac{GE}{BM}$，
即$\frac{DG}{EG}=\frac{CM}{BM}$，
∴$\frac{BM}{CM}=\frac{CM}{BM}$，
∴M是BC中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是利用平行線構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和判斷線段之間的關(guān)系．