Question

20．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，以AC為邊作等邊△ACD，并作斜邊AB的垂直平分線EH，且EB=AB，聯(lián)結(jié)DE交AB于點(diǎn)F，求證：EF=DF．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形性質(zhì)和線段垂直平分線求出BC=$\frac{1}{2}$AB，BH=$\frac{1}{2}$AB，推出BC=BH，推出Rt△ACB≌Rt△EHB，根據(jù)全等得出EH=AC，求出EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=90°，根據(jù)AAS推出△EHF≌△DAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可．

解答 證明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵EH垂直平分AB，
∴BH=$\frac{1}{2}$AB，
∴BC=BH，
在Rt△ACB和Rt△EHB中，
$\left\{\begin{array}{l}BC=BH\\ EB=AB\end{array}\right.$，
∴Rt△ACB≌Rt△EHB（HL），
∴EH=AC，
∵等邊△ACD中，AC=AD，
∴EH=AD，∠CAD=60°，∠BAD=60°+30°=90°，
在△EHF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}EH=AD\\∠EHF=∠DAF\\∠EFH=∠DFA\end{array}\right.$，
∴△EHF≌△DAF （AAS）
∴EF=DF．

點(diǎn)評 本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，難度適中．