Question

12．我們規(guī)定，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．如圖，四邊形ABCD，小明同學(xué)通過測(cè)量得，AB=CD，BC=AD．
（1）小明想起了老師的一句話：“三角形”的知識(shí)很重要很基礎(chǔ)，以后的四邊形乃至多邊形的問題，常常要轉(zhuǎn)化成三角形來解決．于是，他嘗試著連結(jié)了AC，欣喜地發(fā)現(xiàn)這個(gè)四邊形是平行四邊形！請(qǐng)你循著小明的思路，說明AB∥CD，AD∥CB的理由．
解：如圖，連結(jié)AC．
（2）小明又連結(jié)了BD，與AC交于點(diǎn)O，通過觀察、分析，他得出以下結(jié)論：
①∠BAD=∠DCB，∠ABC=∠CDA；
②AO=CO，BO=DO；
③這時(shí)的圖形中，有兩對(duì)全等三角形；
④△AOB和△AOD的面積相等；
請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量、分析等方法，判斷小明的這些結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是3個(gè)．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锳B=CD，BC=AD，AC為公共邊，運(yùn)用SSS定理△ABC≌△CDA，利用全等三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠DCA，所以AB∥CD，同理得AD∥CB；
（2）①因?yàn)锳B=CD，BC=AD，BD為公共邊，運(yùn)用SSS定理△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性質(zhì)得∠BAD=∠DCB，同理△ABC≌△CDA，∠ABC=∠CDA；
②因?yàn)锳B∥CD，AD∥CB，利用平行線的性質(zhì)，∠ABD=∠BDC，∠DAC=∠ACB，AB=CD，∠AOB=∠COD，運(yùn)用AAS定理證得△AOB≌△COD，利用全等三角形的性質(zhì)得，AO=CO，BO=DO；∴
③AD=CB，∠BAD=∠DCB，AB=CD，運(yùn)用SAS定理，證得△ABD≌△DCB，同理證得△ABC≌CDA，所以共有四對(duì)全等三角形；
④因?yàn)锽O=DO，△AOB和△AOD為等底同高的三角形，所以面積相等．

解答 證明：（1）在△ABC與△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=AD}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD；
在△ABD與△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{AB=CD}\\{BD=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；

（2）①∵△ABD≌△CDB，
∴∠BAD=∠DCB；
∵△ABC≌△CDA，
∴∠ABC=∠CDA；
∴①正確；
②∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABD=∠BDC，
在△AOB與△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠COD}\\{∠ABD=∠BDC}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴AO=CO，BO=DO；
∴②正確；
③由以上結(jié)論知：
△ABC≌△CDA，△ABD≌△CDB，△AOB≌△COD，△AOD≌COD，
∴共有四對(duì)全等三角形，
∴③錯(cuò)誤；
④∵BO=DO，△AOB和△AOD為等底同高的三角形，
∴面積相等，
∴④正確；
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件是解決此題的關(guān)鍵．