Question

7．已知，如圖，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，過點D作⊙O的切線交BC于點E，EF⊥AB于F，連接OE交DC于點P，則下列結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． OE∥AB
• B． BC=2DE
• C． AC•DF=DE•CD
• D． DE=$\sqrt{2}$PD

Answer 1

分析 證明BC是⊙O的切線，進而得到P是CD的中點，利用中位線定理求出OE∥AB，據(jù)此判斷A正確；證明E是BC的中點，利用∠CDB是直角，據(jù)此得到BC=2DE，判斷B選項正確；證明△ACD∽△EDF，即可得到AC•DF=DE•CD，判斷C選項正確；只有當PE=PD時DE才等于$\sqrt{2}$PD，據(jù)此判斷D選項錯誤．

解答 解：∵∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切線，
∵BC是⊙O的切線，
∴OE垂直平分CD，∠OEC=∠OED，
∴P是CD的中點，
∴OP∥AB，
∴OE∥AB，
A選項正確，
∵OE∥AB，O是AC的中點，
∴E是BC的中點，
∵AC是直徑，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴BC=2DE，
B選項正確；
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠ADC=90°，
∵DE=CD，BC是⊙O的切線，
∴DE是⊙O的切線，
∴∠EDF=∠CAD，
∴△ACD∽△EDF
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{CD}{DF}$，
∴AC•DF=DE•CD，
C選項正確．
在四邊形PDFE中，我們可以證明它是矩形，而不具備證明它是正方形的條件，
∴DE=$\sqrt{P{E}^{2}+P{D}^{2}}$，
只有PE=PD時DE才等于$\sqrt{2}$PD，
D選項錯誤，
故選D．

點評 本題考查了圓的切線的性質(zhì)、圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線長性質(zhì)及三角形的中位線的運用，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理以及切線的性質(zhì)，此題有一定的難度．