Question

16．Rt△ABC中，∠C=90°，方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有兩個相等的實數(shù)根，斜邊為c，方程cx²-2x+c=0也有兩個相等的實數(shù)根，求這個直角三角形三邊的長．

Answer 1

分析 根據(jù)方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有兩個相等的實數(shù)根，得到關(guān)于sinA的方程，求得sinA，根據(jù)方程cx²-2x+c=0也有兩個相等的實數(shù)根，得到關(guān)于c的方程，求得c，然后由三角函數(shù)和勾股定理即可得到結(jié)果．

解答 解：∵方程x²-3sinA•x+3sinA-1=0有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（3sinA）²-4（3sinA-1）=9sin²A-12sinA+4=（3sinA-2）²=0，
解得：sinA=$\frac{2}{3}$，
∵方程cx²-2x+c=0也有兩個相等的實數(shù)根，
∴△=（-2）²-4c²=0，
解得：c=±1，
∵c＞0，
∴c=1，
∵∠C=90°，斜邊為c，
∴sinA=$\frac{a}{c}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{2}{3}$，
∴b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴這個直角三角形三邊的長為$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了三角函數(shù)的定義．